4차원 시공간
[최무영의 과학이야기] <30> 특수상대성이론 <하>
2008.04.04 09:30:00
4차원 시공간
4차원 시공간

이 역설은 시간과 공간이 서로 얽혀있음을 말해줍니다. 갈릴레이 변환에서 보듯이 종래에는 시간은 공간과 관계없이 절대성을 가지고 있었지요. 공간에서 위치를 나타낼 때 필요한 좌표가 직선은 x 하나이므로 1차원, 평면은 (x,y)이니까 2차원이고, 이른바 3차원 공간에서는 (x,y,z)입니다. 이에 따라 원점으로부터 거리의 제곱 은 1차원에서는 바로 이지만, 2차원에서는 , 그리고 3차원에서는 으로 주어지지요. 공간의 성분은 이같이 서로 얽혀있지만 시간은 따로 놀았습니다.

그런데, 로렌츠 변환, 곧 상대성이론에서는 시간과 공간이 대칭적으로 얽혀있습니다. 공간을 나타내는 (x,y,z)와 시간 t가 따로 있지 않고 서로 어울려 있다는 것입니다. 그래서 '사건'을 기술할 때 위치와 시간을 함께 지정해서 (x,y,z,t)로 표시해야 타당하고, 네 개의 좌표가 필요하니까 4차원이라고 부릅니다. 공간에 시간이 더해지니까 시공간(space-time)이라고 부르고, 물체의 운동은 이러한 4차원의 시공간에서 기술하게 됩니다. 3차원 공간에서 위치처럼 세 성분을 지닌 벡터로 나타내지는데 이러한 네 성분을 가진 물리량을 일반적으로 4차원 벡터라 부릅니다. 3차원 공간에서 벡터는 세 성분을 지니고 있는데 4차원 시공간에서 위치 (x,y,z,t)같이 네 성분을 가진 물리량을 일반적으로 4차원 벡터라 부릅니다.

우주(宇宙)라는 단어를 구성하는 글자를 한자 천자문에서는 집 우(宇), 집 주(宙)라고 합니다. 그런데 '우(宇)'는 시간을 뜻하고 '주(宙)'는 공간을 의미하는 글자입니다. 따라서 '우주'라는 말에는 시공간이라는 의미가 있습니다. 서양은 원래 미개했기 때문에 20세기에 들어와서야 시공간이라는 개념을 알 수 있었지만 동양에서는 이미 수천 년 전에 시공간을 생각해서 이름을 붙인 것 같네요.

이러한 우주, 곧 4차원 시공간에서는 어느 지점, 곧 사건의 원점으로부터의 거리는 에 더해서 같은 것이 더 들어가야 할 것입니다. 여기서 x,y,z는 모두 공간을 나타내므로 단위를 맞추려면 t대신에 ct가 들어가야 되겠지요. 그런데 거리의 제곱 표현에서 의 부호는 놀랍게도 (-)입니다. 따라서 거리의 제곱은 으로 주어집니다. 흥미롭게도 시공간에서 이러한 간격 이 0이면 바로 빛의 퍼져나감을 기술하는 식이네요. 빛은 빠르기가 c이기 때문이고, 다른 물체는 빛보다 느리기 때문에 이 간격은 언제나 0보다 작습니다. [전체의 부호를 반대로 해서 으로 나타내기도 합니다. 그러면 보통 물체의 경우 0보다 크게 되지요.]

시간과 공간이 대칭적으로 어울려서 시공간을 이룬다는데 우리는 왜 시간과 공간을 다르게 느낄까요? 공간과 달리 시간의 방향성, 곧 미래와 과거의 차별성은 직접적으로는 정보의 처리와 우리의 인식에 기인한다고 생각됩니다. 이는 열역학 둘째법칙에 관련되어 있지요. 그러나 이러한 일상세계에서의 비대칭성, 곧 안되짚기와 관계없이 작은 미시세계에서도 시간은 공간과 차이가 있습니다. 이는 시간 성분이 공간 성분과 부호가 반대라는 사실로부터 알 수 있지요. 일상에서 말하는 보통 공간은 유클리드공간(Euclidean space)입니다. 거리의 제곱이 각 좌표 성분의 제곱의 합으로 주어지지요. 만일 시간 성분이 공간 성분과 부호가 같다면 시공간은 4차원 유클리드공간이 되겠지요. 그러나 시간 성분의 부호 차이로 시공간은 유클리드공간이 아니라 이른바 민코프스키공간(Minkowski space)을 이룹니다.
그림 2: 빛원뿔. 아래 쪽의 과거 원뿔과 위의 미래 원뿔이 점 현재에서 만난다.

민코프스키 시공간에서 빛이 지나는 길의 집합을 빛원뿔(light cone)이라 부릅니다. 4차원은 그릴 수 없으므로 공간을 2차원이라 간주하고 시간을 더해서 3차원 시공간 (x,y,t,)를 생각하지요. 시간을 세로축으로 나타내고 바로 이 순간 이 자리를 원점으로 정하겠습니다. 곧 t=0이 현재이고, x=y=0이 우리의 위치입니다. 그러면 원점에서 퍼져나가는 빛을 기술하는 식은 이지요. 이를 민코프스키 시공간에 그리면 원뿔이 됩니다. t < 0인 경우에 이 식은 과거에 다른 곳에서 출발해서 원점, 곧 현재 우리에게 온 빛을 기술하지요.

이러한 민코프스키 시공간에서 모든 물체는 운동에 따라 정해지는 고유한 선으로 나타낼 수 있습니다. 이를 그 물체의 세계선(world line)이라 하는데 빛보다 느린 모든 물체의 세계선은 이므로 - 이를 시간 같은 간격(time-like interval)이라 부르지요 - 언제나 원뿔의 안쪽에 있게 됩니다. 움직이지 않는 물체의 세계선은 세로축, 곧 시간 축에 평행입니다. 여러분의 세계선은 어떤가요? 원뿔의 바깥쪽은 로서 이른바 공간 같은 간격(space-like interval)인데 이 지역은 원점, 곧 우리와 물리적인 신호로 연결되지 않습니다. 따라서 이른바 인과관계로 연결되지 않으며, 아무런 연관을 맺을 수 없지요.

우리 일상에서는 크게 의미가 없지만 먼 천체를 생각해보면 이것이 왜 중요한지 알 수 있습니다. 거리가 워낙 멀리 떨어져 있기 때문인데 예컨대 북극성의 경우 우리는 천 년 전의 북극성을 보고 있는 것입니다. 안드로메다은하는 2백만 년 전의 것을 보고 있지요. 해가 지금 없어진다면 당장은 모르고, 8분 19초 후에 알게 됩니다. 북극성은 지금 없어져도 천 년이 지나야 우리가 알 수 있는 겁니다. 물론 천 년 후에는 아무도 존재하지 않을 터이니 결국 우리는 알 수 없네요. 우주의 거대 구조에서 시간과 공간이 얽혀있다는 것은 중요합니다.

질량의 늘어남

마지막으로 상대성이론의 결과로서 움직이는 물체는 질량이 늘어난다는 사실을 지적하지요. 일반적으로 외부에서 힘이 작용하지 않는 계의 운동량은 보존됩니다. 이는 사실 자리옮김 대칭성이 있음을 의미하지요. 질량 m인 물체가 속도 v로 움직이는 경우에 운동량은 p=mv로 주어진다고 앞서 언급했지요. 그런데 이는 갈릴레이 변환의 경우이고, 로렌츠 변환에서는 보존되는 양은 mv가 아니라 임을 보일 수 있습니다. 자세한 논의는 생략하지요. 이는 움직이는 경우에 일반적으로 질량이 이 되는 것으로 해석할 수 있습니다. 따라서 정지해 있을 때의 질량, 곧 정지질량(rest mass)을 라고 나타내면 속도 v로 움직이는 경우에 물체의 질량은

라고 할 수 있습니다. 따라서 정지질량보다 커지게 됩니다. 여러분이 열심히 뛰면 날씬해 보이긴 하지만 더 무거워진다는 거지요. 좀 실망스럽게 들리네요.

여기서 부수적으로 얻을 수 있는 흥미로운 결과는 질량이 에너지와 본질적으로 같다는 것입니다. 곧 에너지 보존법칙을 유지하려면 에너지 개념을 질량에까지 확장시켜서 질량을 에너지의 한 형태로 보아야 한다는 거지요. 질량 m과 에너지 E 의 환산 관계를 식으로 나타내면

입니다. 널리 알려진 식이지요. 단위를 맞추기 위해 이 곱해진 것인데, 우리가 일상에서 쓰는 단위로는 c가 엄청나게 크기 때문에 약간의 질량이 엄청난 에너지에 해당합니다. 예컨대 1 kg의 질량은 거의 이라는 어마어마한 에너지에 해당하며, 질량이 일부 없어지면 그 만큼에 해당하는 에너지가 나오게 됩니다.

핵반응(nuclear reaction)에서는 이러한 상황을 볼 수 있습니다. 핵분열(nuclear fission)에서는 무거운 원자인 우라늄이나 플루토늄이 깨져서 이보다 가볍고 안정된 원자로 바뀌면서 질량의 일부가 없어지고 그 만큼의 에너지가 나오는 것입니다. 이러한 핵에너지를 이용해서 핵폭탄을 만들고, 핵발전을 하기도 합니다. 이와 반대로 수소 같이 가벼운 원자 몇 개가 결합해서 헬륨처럼 이보다 무거운 원자를 만드는 과정을 핵융합(nuclear fusion)이라 하는데 이때도 질량이 조금 없어지고 그 만큼 에너지가 생겨납니다. 해를 비롯한 별들이 계속 빛의 형태로 엄청난 에너지를 낼 수 있는 것이 바로 이러한 핵융합 반응에 기인하지요. 핵폭탄 중에도 위력이 엄청난 수소폭탄이 바로 핵융합 반응을 이용한 것입니다. 이러한 공포의 핵무기들은 바로 아인슈타인의 상대성이론 때문에 가능하게 되었습니다. 유감스러운 일이지요. 처음 미국에서 핵폭탄을 만들게 된 과정과 그 전후에 여러 물리학자들의 서로 엇갈린 입장은 생각해 볼 점들이 많습니다.

질량이 에너지의 한 형태이므로 움직일 때 질량이 늘어난다는 현상은 정지해 있을 때 보다 에너지가 커짐을 의미합니다. 얼마나 커지는지 살펴봅시다. 그 차이를 K라 하면

이 되지요. 그런데 일반적으로 속도 v는 c보다 아주 작으니까

로 어림할 수 있습니다. 이것을 앞의 식에 넣으면

이 됩니다. 많이 보던 식이지요? 바로 운동에너지의 표현입니다. 물체가 움직이면 질량이 늘어나는데, 이 늘어난 만큼에 해당하는 에너지를 바로 운동에너지라고 부릅니다. 따라서 운동에너지는 로 정의되며, 여러분에게 친숙한 표현인 은 속도가 빛 빠르기에 비해 무시할 수 없을 정도로 커지게 되면 타당하지 않습니다.

기본입자에 대한 강의에서 짝없앰 현상을 논의했지요? 예를 들어 전자와 양전자가 만나서 함께 없어지고 빛알이 생겨나는 현상인데, 이것도 바로 질량이 없어져서 에너지로 바뀌는 과정이고 그 사이에 이 성립합니다. 이와 반대가 짝만듬 과정입니다. 에너지 덩어리라 할 수 있는 빛알이 없어지면서 전자와 양전자가 짝으로 생겨나지요.

더 나아가면 상대성이론은 마당과 물질이 본질적으로 차이가 없다는 사실을 보여 줍니다. 물질이 있으면 그 주위에 중력마당이니 전자기마당이니 하는 마당을 만들고, 반대로 그러한 마당은 물질의 운동을 결정합니다. 물질과 마당은 떼려야 뗄 수 있는 것이 아닙니다. 특히 마당도 에너지를 가지고 있으며, 상대성이론에 따르면 마당에서 물질이 없어질 수도 있고 생겨날 수도 있습니다. 물질도 에너지에 불과하지요. 결국 에너지가 질량이라는 형태로 있는지 다른 형태로 있는지의 차이일 뿐입니다.

몇 가지 질문

상대성이론에 대해 질문 있나요?

학생: 시간이 느려진다면 완전히 정지할 수도 있지 않을까요?

시간 늦춰짐 현상의 식 에서 빛의 빠르기로 운동하게 되면, 곧 v = c가 되면 이 무한히 커지므로 시간이 무한히 늦춰지게 됩니다. 시간이 흐르지 않는다는 말이지요. 영원히 늙지 않겠네요.

그러나 아쉽게도 이런 일은 생길 수 없습니다. 질량이 로 늘어나서 보다시피 무한대가 돼 버립니다. 물체의 속도를 올리려면 힘을 주어서 가속도를 만들어야 합니다. 그런데 정해진 가속도에 대해 필요한 힘은 F = m a, 곧 질량에 비례합니다. 따라서 속도가 빨라질수록 질량이 점점 커지고 계속 가속시키려면 더 큰 힘을 주어야 한다는 것입니다. 극단적으로 속도가 빛 빠르기에 가까워지면 질량이 무한히 커지므로 무한히 큰 힘이 필요해지고, 이는 불가능합니다. 무한히 큰 힘이란 우주에서 있을 수 없으니까요. 에너지 이 무한히 커지게 됨을 생각해도 마찬가집니다. 물체에 무한히 많은 에너지를 주어야 한다는 뜻이니까요.

결국 어떤 물체를 빛 빠르기에 가깝도록 가속시킬 수는 없다는 것입니다. 빛 빠르기로 달려서 시간을 정지시키면 좋겠지만 그것은 불가능한 이야기입니다. 사실 로렌츠 변환 자체가 빛의 빠르기가 속도의 한계임을 보여줍니다. 속도 으로 움직이는 물체를 속도 , 곧 반대방향으로 움직이는 기준틀에서 보면 물체의 속도는 얼마일까요? 이 상대속도가 갈릴레이 변환에서는 이지만 로렌츠 변환에서는 로 주어짐을 보일 수 있습니다. 이는 속도를 아무리 더해도 빛 빠르기에 도달할 수 없음을 보여주지요. 예로서 라면 상대속도는 (4/5)c로서 c보다 작고, 설사 라도 상대속도는 0.91c가 채 안됩니다.

그런데 상대성이론은 질량을 지닌 물체를 가속시켜서 빛의 빠르기에 이르게 할 수 없음을 말하지, 애당초 빛 보다 빠르게 움직이는 물체가 있을 수 없다고 말하지는 않습니다. 그럼 빛보다 빠르게, 이른바 초광속(superluminal velocity)으로 움직이면 어떻게 될까요? 시간이 거꾸로 흐르지 않을까요? 이런 내용의 시가 있습니다. 한 나그네가 여행을 떠났는데 빛보다 빨리 걸었습니다. 그러다 집에 와보니 자신이 떠나기 전날 돌아왔다는 이야기입니다. 공간 축을 따라 여러 방향으로 여행하듯이 시간 축을 따라 과거로 여행하는 이른바 시간여행(time travel)인데 <다시 미래로(Back to the Future)> 등 여러 영화에서 주제로 다루었지요.

이러한 시간여행은 영국의 작가 웰스(Herbert G. Wells)의 유명한 소설 <시간기계(The Time Machine)>에서 유래했다고 할 수 있습니다. 웰스는 이 밖에도 <우주전쟁(The War of the Worlds)>, <투명인간(The Invisible Man)>, <모로 박사의 섬(The Island of Dr. Moreau)> 등 널리 알려진 과학소설(science fiction)을 썼는데, 이에 더해서 문화사에 초점을 맞춘 <역사의 개요(The Outline of History)>를 쓰고 사회주의 활동을 했다는 사실은 잘 알려져 있지 않은 듯합니다.

그의 작품에는 과학과 기술의 발전을 통한 유토피아적 세계가 그려져 있는 것이 아니라 맹목적 추구와 오용에 대한 경고가 담겨 있습니다. <시간기계>에는 자본주의적 기술의 발전이 인류를 오히려 퇴화시킨다는 비관적인 미래의 전망이 나타나 있고 <모로 박사의 섬>에서는 인간과 짐승의 중간인 개체를 만들어내었는데, 현대의 의미로 보면 유전공학에서 유전자 조작을 통한 서로 다른 종 사이 교배의 위험성을 연상하게 됩니다. 100년보다도 오래 된 1896년의 작품이지요.

과학소설이라면 빠질 수 없는 사람이 웰스와 더불어 과학소설의 아버지라 불리는 프랑스의 베른(Jules G. Verne)이지요. (흔히 공상과학소설이라 번역하지만 '공상'이란 수식이 합당하지 않다는 생각이 듭니다.) 그의 작품으로 <기구타고 5주간(Five Weeks in a Balloon)>, <80일간의 세계일주(Around the World in Eighty Days)>, '15소년 표류기'로 알려진 <2년간의 휴가(Two Years' Vacation)> 등 모험을 그린 소설도 많지만 <지구에서 달로(From the Earth to the Moon)>, <바다 밑 2만 리(Twenty Thousand Leagues under the Sea)> 등은 과학과 기술의 발전에 대해 주목할 만한 예측을 담고 있습니다.

실제로 아폴로(Apollo) 계획과 달 착륙, 잠수함 등은 놀라울 정도로 비슷하지요. 특히 1863년에 집필한 <20세기의 파리(Paris in the Twentieth Century)>라는 작품은 그가 출판을 꺼려서 잊혀졌다가 1989년에 발견되어서 흥미를 끌었습니다. 집필 후 무려 131년, 그가 타계한 지 89년이 지나서야 출간되었는데 자동차, 마천루(고층건물), 고속열차, 복사기, 인터넷을 연상시키는 통신망 등이 등장할 뿐 아니라 대기오염, 인간의 소외 등과 함께 과연 물질문명이 인간의 행복을 가져다줄 수 있는지에 대한 날카로운 비판적 시각도 보여주고 있습니다. 참으로 놀라운 통찰력이라 하지 않을 수 없습니다.

아무튼 빛보다 빠르게 움직여서 시간여행을 할 수 있다면 재미있겠지요. 그런데 골치 아픈 상황도 많이 생길 것입니다. '원인이 결과보다 앞선다'는 인과율이 성립하지 않는다면 심각한 문제가 될 수 있겠지요. 불행인지 다행인지 공상영화에 나오는 빛보다 빠른 우주선은 있을 수 없습니다. 정지 상태에서 출발해서 빛 빠르기를 넘어갈 수가 없으니까요. 그러나 애당초 빛보다 빠르게 움직이는 물체가 있다면 어떻게 될까요?

빛보다 빨리 움직이는 알갱이를 타키온(tachyon)이라고 합니다. 이에 대해 우리가 사는 세계는 빛보다 느린 알갱이, 이른바 타디온(tardyon)으로 이루어져 있지요. 타디온과는 반대로 타키온은 에너지를 잃을수록 속도가 커지게 됩니다. 그래서 생성되면 많은 양의 에너지를 방출하면서 속도가 무한히 커질 수 있지요. 그래서 상호작용하는 타키온은 존재하기 어렵다고 생각됩니다. 하느님이 존재한다면 타키온일 것이라고 말하는 사람도 있는데, 그렇다면 우리와 직접 교감하기는 매우 어려울 것입니다. 특히 타키온을 이용하더라도 빛보다 빨리 정보를 보낼 수는 없다고 생각됩니다. 따라서 타키온이 있어도 우리 세계에서 인과율에 영향을 주지는 않으리라 추측합니다.

학생: 그러면 시간여행이란 불가능한가요?

타키온과는 다른 얘기지만 다음 강의에서 논의할 일반상대성이론(general theory of relativity)에 의하면 우주 시공간에 특정한 형태의 벌레구멍(wormhole)이 존재할 수 있습니다. 이를 이용하면 제한된 의미에서지만 원리적으로는 시간여행이 가능하다고 추측합니다. 그러나 그러한 벌레구멍이 실제로 존재하는지는 알 수 없습니다. 특히 안정성에 관련된 문제들은 아직 완전히 이해하지 못하고 있지요. 현재 이해하기로는 사실상 불가능하다고 봐야겠지요.

지금까지 상대성이론에 대해 배운 내용은 모두 특수상대성이론입니다. 이에 더해서 아인슈타인은 일반상대성이론도 만들었습니다. 보통 '특수'는 무언가 좀 어렵고 '일반'은 더 쉬운 것 같은 느낌을 줄 수 있는데 사실은 그 반대입니다. 특수라는 것은 특수한 상황에서 성립하는 이론이고 일반이라는 것은 확장해서 더 보편적인 이론입니다. 보편이론이 더 어려울 것은 당연하지요.

상대성이론이라는 것은 두 관측자의 기준틀이 다를 때 운동을 어떻게 해석해야 할지에서 출발한 건데, 우리는 그동안 두 관측자가 서로 등속운동을 하는 경우만 생각했습니다. 이것은 지극히 불만족스럽습니다. 우주에는 서로 등속운동을 하는 기준틀이 없습니다. 등속운동은 똑바로 직선으로 가야하는데 지구만 하더라도 자전과 공전을 하니까 등속운동을 하지 않습니다. 해나 별도 모두 가속도를 지니고 운동하고 있고, 등속운동이란 사실상 존재하지 않습니다. 따라서 서로 일반적으로 가속운동을 하는 기준틀에 대해서 운동을 해석해야 합니다. 다음 강의에서는 이러한 일반상대성이론을 다루겠습니다.

(매주 화, 목, 금 연재)
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